Programación lineal en el plano

(Álgebra – Primer año C. Económicas – UBA)

 

Descripción

El docente comienza la clase presentando el tema a desarrollar: optimización de funciones lineales sobre regiones del plano.

Define orden en los números reales y las relaciones existentes entre las operaciones de suma y producto con el orden. Plantea varias inecuaciones y marca en la recta real las soluciones correspondientes.

Explica cómo dibujar el conjunto solución de una inecuación en el plano. Los alumnos resuelven algunos ejemplos. Aumenta el grado de dificultad al introducir sistemas de inecuaciones y cómo se obtienen los valores máximo y mínimo de una función lineal sobre una determinada región del plano. Guiados por el docente, los alumnos concluyen que si la región es un polígono convexo, basta con conocer el valor de la función en los vértices del mismo pues el máximo y el mínimo se alcanzan en el borde de la región.

En grupos de tres o cuatro personas, los estudiantes resuelven problemas reales de programación lineal en dos variables. Por último, hay una puesta en común de cada uno de los grupos para cerrar el tema.

 

Interpretación

Motivar a los adolescentes es una actividad compleja e idiosincrática con muchas soluciones posibles. Los jóvenes necesitan saber por qué razón están aprendiendo algo y qué conseguirán con ello. Su motivación para aprender está relacionada con el grado de conexión con su propia experiencia o con las experiencias que puedan imaginar, así como con el grado de riesgo que el aprendizaje les exige (…) Incluso cuando consideran que el contenido es interesante y la actividad es agradable el aprendizaje exige una concentración y un esfuerzo sostenidos (…) La motivación por aprender es algo que pueden desarrollar los docentes. Pueden desatar la curiosidad natural de los alumnos y animarlos a implicarse en las actividades de clase con ganas y con la intención de adquirir conocimientos o habilidades. Esto supone desarrollar las disposiciones y hábitos mentales de tomarse en serio el aprendizaje, reconocer su valor, e intentar beneficiarse de las actividades de aprendizaje (Stoll, Fink y Earl, 2004).

Cuando los docentes trabajan para implicar a los alumnos y promover su independencia, realmente les están enseñando a ser responsables de su propio aprendizaje y les están dando las herramientas para hacerlo bien y con criterio (…) Necesitan conocer los objetivos y las expectativas, como punto de referencia para su trabajo de aprendizaje. Esto requiere mucho tiempo para practicar, reflexionar, argumentar y volverlo a intentar (Stoll, Fink y Earl, 2004).

Con un planteo general del tema, el docente despierta el interés de los estudiantes por los nuevos contenidos. Éstos se van desarrollando siguiendo una secuencia lógica, intercalando teoría y práctica. La ejemplificación es adecuada, con consignas claras y va aumentando el grado de dificultad. Los procesos implicados en las actividades propuestas durante esta primera parte de la clase son de identificación, comparación, descripción, traducción del lenguaje simbólico al coloquial y viceversa, representación, interpretación de resultados.

Aprender para comprender sugiere captar de forma mucho más profunda las ideas y los conceptos subyacentes, no sólo la recitación de algoritmos o reglas. La comprensión es el conocimiento en acción. Un alumno que comprende puede tomar el conocimiento, los conceptos, las habilidades y los hechos, y aplicarlos en una situación nueva en que son apropiados (Stoll, Fink y Earl, 2004).

El aprendizaje mejora cuando los alumnos aprenden a aprender juntos, entablan discusiones serias sobre cuestiones importantes y se implican en su análisis, comparten la responsabilidad de aplicar lo que saben en situaciones nuevas y utilizan el tiempo para plantear preguntas y hacer un seguimiento de su propio aprendizaje, individualmente y como grupo. Los docentes también forman parte del medio social de la clase. Son puntos de referencia importantes para el aprendizaje de los alumnos (…) El feedback durante el proceso y la implicación con los alumnos establecen las conexiones, proporcionan la red de seguridad social que permite a los alumnos correr riesgos en su aprendizaje (Stoll, Fink y Earl, 2004).

Durante el trabajo grupal, los aprendices resuelven problemas reales cotidianos debiendo reconocer las variables, establecer las relaciones existentes entre ellas, representar la región en el plano, plantear la función objetivo y hallar su óptimo en dicha región. El docente interviene cuando es solicitado por algún grupo y con preguntas los va guiando.

 

Valoración

El aprendizaje cooperativo incrementa enormemente la motivación para aprender, así como el uso de procesos cognitivos como la reconceptualización, el razonamiento de orden superior, la metacognición, la elaboración cognitiva, el establecimiento de relaciones, y también contribuye a recordar durante más tiempo los conocimientos y habilidades adquiridos (Johnson y Johnson, 1993).

Las nuevas tecnologías, por sí mismas, no transformarán el aprendizaje de los alumnos. Sin embargo, ofrecen una buena herramienta para ampliar sus oportunidades de explorar el mundo real y el imaginario. El uso de las nuevas tecnologías como herramienta de aprendizaje significa que los aprendices están participando activamente en su propio aprendizaje, y colaborando con él a medida que encuentran, interpretan y evalúan información, usando habilidades de resolución de problemas y pensamiento crítico (Stoll, Fink y Earl, 2004).

En nuestro carácter de educadores se espera que reflexionemos más que la mayoría de la gente sobre las formas en que podemos crear deliberadamente experiencias y oportunidades de aprendizaje que amplíen el ámbito de las posibilidades humanas. También se espera que nos preocupemos por quienes quedan al margen de estas experiencias y oportunidades (…) Las nuevas tecnologías de la comunicación e información compartidas están dibujando límites de inclusión y exclusión, e influyendo en gran escala en la cantidad y calidad de las interacciones que mantienen las personas (Burbules y Callister (h), 2001).

Para redondear el tema, los grupos de estudiantes podrían resolver algún problema en la computadora utilizando un programa de matemática adecuado, siempre y cuando el centro educativo cuente con la tecnología necesaria. También sería conveniente que los aprendices buscaran información acerca de otros métodos para resolver este tipo de problemas que les permita hacerlo con rapidez cuando el volumen de los datos sea mayor.

Ingenio y matemática

Descripción

 

Matemática, historia y poesía se conjugan maravillosamente en “El Hombre que Calculaba”, escrito por Malba Tahan. En forma novelada el autor describe los más inverosímiles problemas de ingenio matemático resueltos dentro de la lógica. Fue publicado por primera vez en 1938 y fue dedicado a Descartes, Pascal, Newton, Leibnitz, …y a todos los que enseñan, estudian o admiran la matemática.

A través de sus treinta y cuatro capítulos podemos imaginar fantásticos lugares y personajes, descriptos en los numerosos encuentros que protagoniza el Hombre que Calculaba. En cada uno de ellos resuelve un problema o nos cuenta acerca de los diferentes sistemas de numeración, los teoremas demostrados por los antiguos griegos y los conocidos en épocas pasadas en algunos países de Asia.

Malba Tahan es el seudónimo bajo el cual escribió sus libros el brasileño Julio César de Mello y Souza. Nació en Queluz, el 6 de mayo de 1895 y murió en Recife, el 18 de junio de 1974. Concluyó sus estudios de profesorado de primaria en la Escuela Normal de Antiguo Distrito y luego en 1913 hizo un diplomado en Ingeniería Civil en la Escuela Politécnica de Brasil. Estudió las culturas árabes así como su lengua entre 1918 y 1925 y fruto de este estudio y motivaciones diversas surge en 1919 Malba Tahan.

De Mello escribió 69 libros de cuentos y 51 de matemáticas y otros temas. Recibió premios por la Academia Brasileña de Letras.

El profesor se dedicaba a criticar asiduamente los métodos de enseñanza brasileños, especialmente aquellos utilizados en la instrucción matemática. Solía decir “El profesor de matemática es un sadista que ama hacer todo lo que es complicado como posible.” En educación, él estaba muchas décadas más avanzado que los educadores de su propio tiempo. Trabajaba incentivando el análisis por medio de laboratorios matemáticos, donde también enseñaba con mucha dedicación y manejo de la didáctica. En sus clases introducía lecturas árabes como forma de aprendizaje.

Sus libros se han traducido en varios idiomas, por lo cual el maestro ve logrado su cometido en difundir el apego hacia las matemáticas.

 

 

Interpretación

 

Desde sus orígenes la humanidad ha tenido que enfrentar dos problemas fundamentales, la forma de transmitir los contenidos en el espacio y, la forma de preservarlos.

El planteo de estas cuestiones supone por un lado, determinar la forma de garantizar la integridad intelectual del contenido de la obra y la conservación del soporte en el que fue plasmada, y por otro lado, el medio por el cual se mantendrá inalterada la finalidad o intención para la cual se concibió.

Con el advenimiento de la imprenta y de la modernidad, podemos decir que vivimos en la época de la explosión bibliográfica y de la información en otro tipo de fuentes como internet, periódicos, revistas, etc.

Sin embargo, el valor del libro es perdurable a través del tiempo y el poder del impreso llega a sobrepasar la información que no ha sido impresa, razón por la que no debe valorarse un libro por lo nuevo o por su cubierta.

Leer un libro es algo mágico, más aún si nos abre el mundo de la matemática en forma amena. Descubriendo la estrecha relación existente entre la naturaleza y la vida cotidiana con esta ciencia.

Durante nuestra vida pasamos gran parte de ella calculando: el tiempo que tardamos en llegar a nuestro trabajo, el precio final de algún bien sujeto a descuento, la cantidad de cuadras caminadas, los kilogramos de pan que consumimos por semana, cómo dividir una torta en porciones iguales o desiguales, las páginas leídas de un libro o una revista, la cantidad de calorías consumidas y muchas cosas más.

El número es parte de nuestra vida aunque no reparemos en ello. Cómo resistirnos a intentar resolver algún problema numérico de ingenio.

Malba Tahan logra atraparnos en sus acertijos matemáticos, resueltos en forma rigurosa. En ocasiones detalla el procedimiento realizado y en otras, sólo da los resultados.

En la tercera edición, junio 1976, publicada por Editorial Vosgos S.A. (Barcelona, España), el autor no explicita su intencionalidad al escribir el libro.

 

 

Valoración

 

La actual crisis de la lectura entre los jóvenes quizás tenga menos que ver con la seducción que ejercen las nuevas tecnologías y más con la profunda reorganización que atraviesa el mundo de las escrituras y los relatos, y la consiguiente transformación de los modos de leer, es decir con el desconcierto que entre los más jóvenes produce la obstinación en seguir pensando la lectura únicamente como modo de relación con el libro y no con la pluralidad y heterogeneidad de textos y escrituras que hoy circulan (J.M. Barbero, 2003).

Aprender es algo que puede controlarse y potenciarse si nos centramos en los intentos de conseguir que la información tenga sentido, de relacionarla con el conocimiento anterior, y de dominar las habilidades relacionadas con ella. Aprender significa reforzar estructuras mentales organizativas, crear otras nuevas, o desafiar las existentes. El aprendizaje es un proceso continuo tanto de asimilación (adición de nuevos mapas mentales), como de acomodación (modificación o cambio de mapas mentales existentes) (Stoll, Fink y Earl, 2004).

El sistema cognitivo no sólo es un dispositivo epistémico de interpretación de la realidad, sino también un sistema eferente de planificación y control de la acción (Rodrigo, Rodriguez, Manero – “Las teorías implícitas”).

Cada aplicación de la matemática usa de la matemática para evaluar o entender o predecir algo que pertenece al mundo no matemático. Lo que caracteriza a la modelización es la atención explícita al principio del proceso, al ir desde el problema fuera del mundo matemático a su formulación matemática, y una reconciliación explícita entre las matemáticas y la situación del mundo real al final. A través del proceso de modelización se presta atención al mundo externo y al matemático y los resultados han de ser matemáticamente correctos y razonables en el contexto del mundo real (H.O. Pollak, “Solving problems in the real world”, 1997).

El aprendizaje cobra mayor sentido cuando se realiza dentro de un contexto, sea éste real o imaginario. Resolver problemas es todo un desafío y pone en marcha nuestro sistema cognitivo.

Plantear a los estudiantes una adaptación de algunos de los problemas presentados por Malba Tahan contribuiría en buena medida a entusiasmarlos por la matemática y la resolución de problemas, tanto a nivel secundario como en primer año de la universidad. La adaptación podría realizarse utilizando alguna tecnología preferida por los jóvenes.